円盤音階理論
音の高さと音色
現在の楽器の主流は弦楽器と管楽器ですが，どちらも一次元の弦あるいは気柱が振動源で，弦長あるいは気柱長を波長とする基本波 (基音) と，その 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... を波長とする高調波 (倍音，高次音) が発生します．図は両端を固定した弦の振動で，その右側は実際のバイオリンのスペクトルです．基本周波数，その２倍，３倍，４倍，...と，線が等間隔に並んでいます．「音色」はこれら高次音の成分比によって決まります．
一次元の弦・菅の振動計算には三角関数が登場しますが，例えば二次元の円盤ではベッセル関数が登場します．どこも固定されていない，自由に振動できる円盤の計算に用いる式はこれだけです．
Jn(λ), In(λ)はそれぞれλを変数とするn次のベッセル関数と変形ベッセル関数，ν はポアソン比，Eはヤング率，h と a は円板の厚みと半径，ρ は材質の面積密度です．最初の方程式で λ を求めると，第３式から角周波数 ω が定まります．
円盤の材質と厚みが同じであれば，音の高さ すなわち角周波数 ω は半径 a に比例します．
第１式の n=0,1,2,... に応じてそれぞれ方程式があり，各 n に対する方程式を満たす λ は無数に存在します．これらを小さい方から m=0,1,2,...と番号付けします．すなわち，方程式の解を (n,m) という非負整数のペアで特徴付けます．
円盤の振動のモード (姿態) には２種類あり，それぞれをピザモード，ドーナツモードと言います．実際の振動は一般にはふたつのモードの混合モードになります．
ピザモードでは円周方向に凹凸ができます．下のように，出っ張った部分が次の瞬間に凹むことを繰り返し，振動が生じます．いちばん単純なピザモードは半円に分割したときです．図は３本の直系で分割したときの振動，すなわち (3,0) モードのイメージです．
これに対してドーナツモードは円盤を同心円で分割します．その結果，半径方向に凹凸ができます．図は (0,3) モードのイメージです．
どちらのモードにも，振動しない部分があり，ピザモードでは直線，ドーナツモードでは同心円です．これらの線 (直線または円周) を節線と言います．先ほどの n,m は，実はピザモード，ドーナツモードにおけるそれぞれの節線の数を表しています．
このふたつのモードが混じり合った，ミックスモードも起こります．図は (3,1) モードのイメージです．
音を出しているスピーカーの上に円盤に粉体を撒くと，粉体は振動しない部分 (節) に集まり，クラドニ・パターンを生じます．スピーカーから出る音の高さを変えると，パターンも変化します．下の動画はミックス・モード (上) およびドーナツ・モード (下) のクラドニ・パターンです．
ミックス・モード
ドーナツ・モード
下のグラフの横軸は n すなわちピザの分割数，縦軸の f=ω/2π は周波数です．ν=0.33 としています．それぞれの円にはピザモード，ドーナツモードが示してあります． グラフの円に示した位置で，青い部分と白い部分が交互に出入りする，振動が生じます．この振動位置をつなぐと m の値ごとに線上に並びます．このように n,m のどちらか一方がゼロでなければ，ピザモードとドーナツモードが重なってミックスモードの複雑な振動を生じます．
円盤を叩いたり擦ったりすると，グラフで円で示したモードばかりでなく，n,m が図の範囲を超えた高次の振動モードも生じる可能性があります．弦や管で原理的には無限に倍音が生じるのとおなじです．しかし実際に観察できるのは n,m が比較的小さいモードに限られます．
個々のモードの振幅は残念ながら計算できません． 楽器としてマレットやスティックで叩いて演奏するとき，叩く位置によってどのモードを起こすかをコントロールできます．また円盤の支持方法も影響します．
はじめに式で示したように， λ と a (円板の半径) は比例します．大きさの異なる円盤を並べれば旋律楽器が出来ます．
計算の詳細は，
A.W. Leissa "Vibration of Plates" NASA SP-160 (1969)
「打ちどころ」によって音色が変わる
スペクトルの計算法を紹介しましたが，実際のスペクトルは上のように，円盤のどこを叩くかで異なります．図で「中心から云々」は半径を１としたときの叩く位置で，「何本」は線スペクトルの本数です．
どの線がどんな (n,m) に対応するかを全部書き入れると図が複雑になるので差し控えましたが，たとえば赤で示した (0,1), (0,2),... は線スペクトルに対応するモードです．このようにどこを叩いても共通して現れるモードもあります．
円盤は２次元ですが，弦楽器・管楽器の振動源は１次元です．寄り道になりますが，両端を固定した弦の振動を考えましょう．図でメッシュをかけた，２倍波，４倍波，一般化すれば偶数波では，弦の中点 (節) は動かないことに注目してください．
ここで弦の中点を弾いたとしましょう，このとき，弦の中点は上下に動かざるを得ません．そこで，メッシュをかけた２倍波，４倍波，６倍波などの偶数波は発生できなくなります．このことで弦の音色は変化します．手近にギターをお持ちの方は弾く場所による音色の違いを試してください．
冒頭の図のように，円盤楽器で叩く位置によってスペクトルが変わるのも同じ理由です．叩いた位置を「節」とする振動は起き得ないので，このことがスペクトル，すなわち音色を左右します．ポリノゴーラでは中心を叩くとドーナツモード・端を叩くとピザモードが多く発生します．
ドレミの協和
円盤楽器のための音階をどう作るかを考える前に，おなじみの「ドレミ..」という音階について考えてみます．このドレミ...では，そのなかのいくつかの音を同時に鳴らした時，協和する (ハモる) という特徴があります．たとえばドとソの２音，あるいはド・ミ・ソの３音です．
下の図に弦楽器あるいは管楽器でドを弾いたとき・ソを弾いたときの倍音を上下に並べて示しました．ソの基本波 (１倍波と言ってもよい) の周波数はドの基本波の周波数の 3/2=1.5 倍です (実は平均律では 1.49830... 倍ですが，1.5 倍との違いには目をつむりましょう)．そうすると赤線で囲んだ，ドの３倍音とソの２倍音，ドの6倍音とソの4倍音，ドの9倍音とソの6倍音，等は同じ周波数・同じ音になります．このように，同じ高さの低次の倍音を持つ二つの音は協和します．
ドソの２音の場合をドレミ...シの７音に拡張してみましょう．グラフの横軸は倍音の周波数．縦軸はドレミ..という階音の基本波の周波数で，どちらも「ド」の基本波に対する周波数比で目盛ってあります．右側の階名ドレミファ…に対応する分数 9/8, 5/4, 4/3...はこれらの基本波の ドの基本波に対する周波数比を分数で書いたものです．水平方向の等間隔の点列は倍音で，ドレミ...と音が上に行くるほどその間隔が広がります．ドレミ…それぞれの基音，２倍音，３倍音などを結ぶと，それぞれが固有の傾きを持つ直線になります．
ここで，同じ高さの低次の倍音を持つ二つの音は協和することを思い出してください．ドとソについてはすでに述べましたが，他にもドの倍音と同じ高さの倍音たちとを赤線で結んでみると
◆ドの4倍音とファの３倍音は同じだから，ドとファは協和する．
◆ドの５倍音とミの4倍音は同じだから，ドとミは協和する．
◆ドの５倍音とラの３倍音は同じだから，ドとラは協和する．
◆エトセトラ．
このように同じ高さになる理由は，ドの周波数を１としたとき，ミ，ファ，ソ，ラの周波数はそれぞれ 5/4.4/3.3/2,5/3 であるためです．逆にこのように簡単な整数比で書ける分数を１と２の間に並べたのがドレミ...なのです．9/8 のレと，15/8 のシを補うと，ドレミファソラシドが揃います．このドレミ..という音階の特徴は協和する複数音が選べることです．
この図には他にもいろいろ面白いことが埋まっています．下の図ではレと協和しそうな音と，ミと協和する音を赤線で結んでみました．レとラを結んだ点線は，実はよく見るとやや傾いています．純正律ではこの組み合わせは「ウルフ」と呼ばれ，協和しないことが知られています (平均律では不協和度はあまり目立ちません)．さらに，例えば３つの音の協和，すなわち和音を考えてみると...
◆ドとミ，ドとファは協和するが，ミとファは協和しない．ドミファは協和しない．
◆ミとソは協和する．ドとソも協和するから，ドミソは協和する．
◆ドの 5(10) 倍波・ミの 4(8) 倍波・ラ 3(6) 倍波は同じ高さだから，ドミラは協和する．
◆エトセトラ．
ここでは縦軸に沿って 7 音を選び，長調における協和を示しましたが，縦軸に 12 音を並べれば全ての調性における協和を俯瞰することができます．
以上の説明で，ドレミ...から選んだ音の中に協和するものがあることはお分かりと思います．では逆に，どうやって協和音を持つドレミ...という音階が出来たのか? 歴史的な経緯には諸説あるようです．心理物理学的には，「音源のスペクトルから『不協和曲線』を計算し，極値を与える周波数列から音階の構成音の周波数を求める」とドレミ...という音階になる，と まとめることが出来ます．ただしドレミ...という音階は音源として，弦と菅，すなわち一次元の音源を選んだときに出来るということを，強調しておきます．円盤という二次元音源を選べば，ドレミとはまったく違う音階ができますが，それは後ほど...
不協和曲線
ふたつの純音，すなわち単一周波数を持つ２つの正弦波を同時に聞いた時の不協和度 (響きの悪さ) を，２音の周波数差の関数として示すと下左の図になります．周波数差は臨界帯域幅で割ってありますが，これは音の絶対的な高さに対する補正です．
上右の図は，ふたつの弦楽器あるいは管楽器からの２楽音の不協和曲線を，それぞれの基本波の周波数比の関数として示しています．楽音そのものは基本波，２倍波，３倍波，４倍波，... と，多数の正弦波の重ね合わせです．基音の基本波と高音の基本波・２倍波・３倍波・４倍波・... の各組み合わせの不協和度，また基音の２倍波 (３倍波・４倍波・... ，) と高音の基本波・２倍波・３倍波・４倍波・... ，の各組み合わせの不協和度を，上左のグラフから求めることができます．全ての倍音すなわち高調波同士の組み合わせにおける不協和度を，基音を固定し，高音を掃引しつつ加算すると右側の図，楽音の不協和曲線ができます．
左端の音 (基音) と協和する音の周波数で不協和曲線は谷になります．周波数そのものは連続なのに，周波数比が 5/4, 4/3, など，すなわち特定な比率で協和することに注目してください．左端の音をドとすれば，これらの協和する音は純正律のミ，ファ，ソ，ラです．ちなみに比率 6/5 はミ♭です．
同じ高さの音であれば不協和度はゼロですから，倍音の中に同じ高さの音があれば，2音の不協和度は低く，すなわち協和度は高くなり，よく協和します．
不協和曲線の考え方はヘルムホルツの「音感覚論」に遡ることができますが，ここに述べた方法はPlomp and Levelt によります． 小方厚「音律と音階の科学」，小方・高田・中川・山本「視て聴くドレミ: フーリエ音楽学への招待(CD-Book)」等に解説があります．
円盤の音階
弦・管という一次元の音源からの音は倍音を持っています．そのスペクトルから描いた不協和曲線の極小値からドレミ...という音階が導かれました．しかし円盤の音は単純な倍音で構成されてはいません．そのスペクトルはより複雑ですが，すでに述べたように，ピザモード，ドーナツモード，ミックスモードに整理することができます．それぞれのモードについて不協和曲線を描き，三つの音階を作ることができます，
ここでは特に製品化されている，ミックスモードについて記述します．
円盤を叩いたときに発生する高次音列のうち，(n,1), n=0,1,2,...,9 で表すことができる音列に属する音は，円盤半径の 1/2 を半径とする周上を叩くと必ず発生します．既に述べたピザとドーナツのミックスモードに属する振動に伴う音です．上の図は円盤音をこの高次音 (n,1) に限定して描いた不協和曲線です．
(0,1) モードの周波数を 1 としたときの， (n,1) モード (n=1,2,...,9) の周波数を緑の表に示しました．この曲線を極小とする周波数を低周波数側から順にとって円盤音階を作りました(図では 22 番目の音まで示しています)．主音を 1 としてこれらに番号付けしたときの，音階構成音の主音の周波数に対する周波数比を青い表に示しました．
上の図で横軸は高次音，縦軸は音階を作る音の周波数ですが，どちらの目盛りも最低基音の周波数に対する比です．ここでは音階は 22 音からなるものとしたので，縦方向には 22 の点列があります．これらを低い方から数えた順番を ..., 5..., 10..., 15..., 20...の緑色の数字で示しました． 高次音の次数が同じ点を結ぶとグラフでは一定の傾きを持つ直線になります．図ではこれらの次数を基音，２次音，３次音... の赤い文字で示しました．
ドレミ...の場合と同様に，同じ高さの高次音を持つ二つの音は協和します．たとえば，左から順に赤の縦線が結んだ点をたどってわかることは
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音階番号 1 と 10 は共通する高次音 (周波数比 2.25) を持つので協和する．
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音階番号 1, 6, 16 の３音は共通する高次音 3.82 を持つので協和する.
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音階番号 1, 5, 11, 21 の 4 音は共通する高次音 5.71 を持つので協和する.
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音階番号 1, 4, 9, 15の 4 音は共通する高次音 7.90 を持つので協和する.
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音階番号 1, 3, 7, 12, 18 の 5 音は共通する高次音 10.33 を持つので協和する.
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エトセトラ.
同様に全ての構成音対を考慮すると，8割以上の対が協和します．これはドレミ...を拡張した 12 音律と同程度です．
円盤音階セットはここで示した 22 音からなる音階の最初の 13 音をセットにしたものです．11番目の音は、1番目の音の2.25倍です．これは新しいオクターブの関係になります．なぜなら1番目の円盤の2次元倍音と同じだからです．
正三角形の音階
基本的には、円盤の音階のつくり方と同じです。ただ、正三角形の倍音構成は円盤より単純で、そのため澄んだ抜けるような音がします。 正三角形は二次元の最小多角形で、円は無限多角形と考えられます。正三角形の出す音の秘密はそこにありそうです。