円盤音階理論
音の高さと音色
現在の楽器の主流は弦楽器と管楽器ですが，どちらも一次元の弦あるいは気柱が振動源で，弦長あるいは気柱長を波長とする基本波 (基音) と，その 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... を波長とする高調波 (倍音，高次音) が発生します．図は両端を固定した弦の振動で，その右側は実際のバイオリンのスペクトルです．基本周波数，その２倍，３倍，４倍，...と，線が等間隔に並んでいます．「音色」はこれら高次音の成分比によって決まります．
一次元の弦・菅の振動計算には三角関数が登場しますが，例えば二次元の円盤ではベッセル関数が登場します．どこも固定されていない，自由に振動できる円盤の計算に用いる式はこれだけです．
Jn(λ), In(λ)はそれぞれλを変数とするn次のベッセル関数と変形ベッセル関数，ν はポアソン比，Eはヤング率，h と a は円板の厚みと半径，ρ は材質の面積密度です．最初の方程式で λ を求めると，第３式から角周波数 ω が定まります．
円盤の材質と厚みが同じであれば，音の高さ すなわち角周波数 ω は半径 a に比例します．
第１式の n=0,1,2,... に応じてそれぞれ方程式があり，各 n に対する方程式を満たす λ は無数に存在します．これらを小さい方から m=0,1,2,...と番号付けします．すなわち，方程式の解を (n,m) という非負整数のペアで特徴付けます．
円盤の振動のモード (姿態) には２種類あり，それぞれをピザモード，ドーナツモードと言います．実際の振動は一般にはふたつのモードの混合モードになります．
ピザモードでは円周方向に凹凸ができます．下のように，出っ張った部分が次の瞬間に凹むことを繰り返し，振動が生じます．いちばん単純なピザモードは半円に分割したときです．図は３本の直系で分割したときの振動，すなわち (3,0) モードのイメージです．
これに対してドーナツモードは円盤を同心円で分割します．その結果，半径方向に凹凸ができます．図は (0,3) モードのイメージです．
どちらのモードにも，振動しない部分があり，ピザモードでは直線，ドーナツモードでは同心円です．これらの線 (直線または円周) を節線と言います．先ほどの n,m は，実はピザモード，ドーナツモードにおけるそれぞれの節線の数を表しています．
このふたつのモードが混じり合った，ミックスモードも起こります．図は (3,1) モードのイメージです．
音を出しているスピーカーの上に円盤に粉体を撒くと，粉体は振動しない部分 (節) に集まり，クラドニ・パターンを生じます．スピーカーから出る音の高さを変えると，パターンも変化します．下の動画はミックス・モード (上) およびドーナツ・モード (下) のクラドニ・パターンです．
